Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x=1．

（1）求点C的坐标（用含a的代数式表示）；

（2）联结AC、BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式；

（3）在第（2）小题的条件下，点Q为x轴正半轴上一点，点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，当△CGF为直角三角形时，求点Q的坐标．

Answer

（1）C（0，﹣3a）；(2) y=x2﹣2x﹣3；(3) Q的坐标为（4，0）或（9，0）

【解析】试题（1）由A点坐标和二次函数的对称性可求出B点的坐标为（3,0），根据两点式写出二次函数解析式，再令y=0，求出y的值，即可的点C的坐标；

（2）由A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），求出AB、OC的长，然后根据△ABC的面积为6，列方程求出a的值；

（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，分两种情况求【解析】
当Rt△QGH∽Rt△GFH时，求得m的一个值；当Rt△GFH∽Rt△FCO时，求得m的另一个值.

【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x=1，

而抛物线与x轴的一个交点A的坐标为（﹣1，0）

∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）

设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

当x=0时，y=﹣3a，

∴C（0，﹣3a）；

（2）∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），

∴AB=4，OC=3a，

∴S△ACB=AB•OC=6，

∴6a=6，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（3）设点Q的坐标为（m，0）．过点G作GH⊥x轴，垂足为点H，如图，

∵点G与点C，点F与点A关于点Q成中心对称，

∴QC=QG，QA=QF=m+1，QO=QH=m，OC=GH=3，

∴OF=2m+1，HF=1，

当∠CGF=90°时，

∵∠QGH+∠FGH=90°，∠QGH+∠GQH=90°，

∴∠GQH=∠HGF，

∴Rt△QGH∽Rt△GFH，

∴=，即=，解得m=9，

∴Q的坐标为（9，0）；

当∠CFG=90°时，

∵∠GFH+∠CFO=90°，∠GFH+∠FGH=90°，

∴∠CFO=∠FGH，

∴Rt△GFH∽Rt△FCO，

∴=，即=，解得m=4，

∴Q的坐标为（4，0）；

∠GCF=90°不存在，

综上所述，点Q的坐标为（4，0）或（9，0）．