Question

我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”．

（1）概念理【解析】

如图1，在△ABC中，AC=6，BC=3，∠ACB=30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由．

（2）问题探究：

如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是”等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△A'BC，连结AA′交直线BC于点D．若点B是△AA′C的重心，求的值．

（3）应用拓展：

如图3，已知l₁∥l₂，l₁与l₂之间的距离为2．“等高底”△ABC的“等底”BC在直线l₁上，点A在直线l₂上，有一边的长是BC的倍．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，A′C所在直线交l₂于点D．求CD的值．

Answer

（1）△ABC是“等高底”三角形；（2）；（3）CD的值为，2，2．

【解析】

（1）过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，根据30°所对的直角边等于斜边的一半可得：根据“等高底”三角形的概念即可判断.

（2）点B是的重心，得到设 则

根据勾股定理可得即可求出它们的比值.

（3）分两种情况进行讨论:①当时和②当时.

（1）△ABC是“等高底”三角形；

理由：如图1，过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形，∠ADC=90°，

∵∠ACB=30°，AC=6，

∴

∴AD=BC=3，

即△ABC是“等高底”三角形；

（2）如图2，∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，

∴

∵△ABC关于BC所在直线的对称图形是 ，

∴∠ADC=90°，

∵点B是的重心，

∴

设 则

由勾股定理得

∴

（3）①当时，

Ⅰ．如图3，作AE⊥BC于E，DF⊥AC于F，

∵“等高底”△ABC的“等底”为BC，l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，.

∴

∴BE=2，即EC=4，

∴

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，

∴∠DCF=45°，

设

∵l1∥l2，

∴

∴ 即

∴

∴

Ⅱ．如图4，此时△ABC等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到，

∴是等腰直角三角形，

∴

②当时，

Ⅰ．如图5，此时△ABC是等腰直角三角形，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°得到△A'B'C，

∴

∴

Ⅱ．如图6，作于E，则

∴

∴

∴△ABC绕点C按顺时针方向旋转45°，得到时，点A'在直线l1上，

∴∥l2，即直线与l2无交点，

综上所述，CD的值为