Question

在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接EC．

（1）操作发现：若AB=AC，∠BAC=90°，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是　  　，　 　；

（2）猜想论证：

在（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断（1）中结论是否成立，并证明你的判断．

（3）拓展延伸：

如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°，点D在线段BC上运动，试探究：当锐角∠ACB等于　   　　　度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C、E重合除外）？此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC=3时，请直接写出线段CF的长的最大值是　　

Answer

(1) CE=BD，CE⊥BD；(2) 仍然成立 (3) 45°； ；

【解析】

（1）线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，根据旋转的性质得到AD=AE，∠BAD=∠CAE，得到△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质可得CE=BD，∠ACE=∠B，得到∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，即可得结论CE=BD，CE⊥BD．（2）（1）中的结论仍然成立，证明的方法与（1）一样；（3）过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N（如图3），根据已知条件易证Rt△AMD≌Rt△ENA，可得NE=MA，再证明Rt△AMD∽Rt△DCF，设DC=x，根据相似三角形的性质列出比例式，得到CF与x的二次函数关系式，利用二次函数性质解决问题即可.

【解析】
（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：

如图2，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴AE=AD，∠DAE=90°，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAE=∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴CE=BD，∠ACE=∠B，

∴∠BCE=90°，

所以线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为：CE=BD，CE⊥BD；

（3）过A作AM⊥BC于M，过E点作EN垂直于MA延长线于N，如图3，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，

∴∠DAE=90°，AD=AE，

∴∠NAE=∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE=AM，

∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE=90°，

∴四边形MCEN为矩形，

∴NE=MC，∴AM=MC，

∴∠ACB=45°，

∵四边形MCEN为矩形，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴=，设DC=x，

∵在Rt△AMC中，∠ACB=45°，AC=3，

∴AM=CM=3，MD=3﹣x，∴=，

∴CF=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，

∴当x=时有最大值，最大值为．