Question

如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E．

（1）求证：AE⊥CE．

（2）若AE=，sin∠ADE=，求⊙O半径的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OA，如图，利用切线的性质得∠OAE=90°，再证明CD为△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AE⊥CE；

（2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD=3，接着证明∠OAD=∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD=，设OD=x，则OA=3x，利用勾股定理可计算出AD=2x，从而得到2x=3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．

（1）证明：连接OA，如图，

∵OA是⊙O的切线，

∴AE⊥AB，

∴∠OAE=90°，

∵C，D分别为半径OB，弦AB的中点，

∴CD为△AOB的中位线．

∴CD∥OA．

∴∠E=90°．

∴AE⊥CE；

（2）连接OD，如图，

∵AD=CD，

∴OD⊥AB，

∴∠ODA=90°，

在Rt△AED中，sin∠ADE=，

∴AD=3，

∵CD∥OA，

∴∠OAD=∠ADE．

在Rt△OAD中，sin∠OAD=，

设OD=x，则OA=3x，

∴AD==2x，

即2x=3，解得x=3，

∴OA=3x=，

即⊙O的半径长为．