Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点M，N同时从点B出发，分别在BC，BA上运动，若点M的运动速度是每秒2个单位长度，且是点N运动速度的2倍，当其中一个点到达终点时，停止一切运动．以MN为对称轴作△MNB的对称图形△MNB₁．点B₁恰好在AD上的时间为______秒．在整个运动过程中，△MNB₁与矩形ABCD重叠部分面积的最大值为______．

Answer

【解析】

（1）如图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F，根据轴对称的性质可以得出ME=MB=2t，由勾股定理就可以表示出EF，就可以表示出AE，再由勾股定理就可以求出t的值；

（2）根据三角形的面积公式，分情况讨论，当0＜t≤和＜t≤4时由求分段函数的方法就可以求出结论．

（1）如下图，当B′与AD交于点E，作FM⊥AD于F．

∴∠DFM=90°．

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB．AD=BC．∠D=∠C=90°．

∴四边形DCMF是矩形，

∴CD=MF．

∵△MNB与△MNE关于MN对称，

∴△MNB≌△MNE，

∴ME=MB，NE=BN．

∵BN=t，BM=2t，

∴EN=t，ME=2t．

∵AB=6，BC=8，

∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t

在Rt△MEF和Rt△AEN中，由勾股定理，得

EF=，AE=，

∴+=2t，

∴t=．

（2）如图所示：

∵△MNB1与△MNB关于MN对称，

∴∠MB1N=∠MBN=90°．

∵∠MB1N+∠MBN+∠B1MB+∠B1NB=360°，

∴∠B1MB+∠B1NB=180°．

∵∠B1NA+∠B1NB=180°，

∴∠B1NA=∠B1MB．

在变化过程中,∴∠B1NA不变

由（1）得tan∠B1NA=，

∴tan∠B1MB=．

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠B1FG=∠B1MB．

∵BN=t，BM=2t，

∴B1N=t，MB1=2t．

∵AB=6，BC=8，

∴CD=MF=6，CB=DA=8．AN=6-t

∴GA=（6-t），GN=（6-t），

∵B1G=B1N-GN=t-（6-t）=t-10，

∴B1F=（t-10）×=2t-．

∴当＜t≤4时，

S=t2-（2t-）（t-10）=-（t-6）2+，

∴t=4时，S最大=．

当0＜t≤时，S=t2．

∴t=时，S最大=．

∵＞．

∴最大值为．

故答案为：（1）；（2）．