Question

对于二次函数y=x²﹣2mx+3m﹣3，以下说法：①图象过定点（），②函数图象与x轴一定有两个交点，③若x=1时与x=2017时函数值相等，则当x=2018时的函数值为﹣3，④当m=﹣1时，直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，其中正确命题是（　　）

A. ①②    B. ②③    C. ①②④    D. ①③④

Answer

C

【解析】

把x=代入即可验证①的对错；令y=0，求出∆的值即可判断②的对错；由函数的对称性可知，当x=0和x=2018时的函数值相等，据此求解，即可判断③的对错；先求出抛物线的对称轴，然后验证即可判断④的对错.

①当x=时，y=﹣2m×+3m﹣3=，所以图象过定点（，﹣），命题①正确；

②当y=0时，x2﹣2mx+3m﹣3=0，

△=（﹣2m）2﹣4×1×（3m﹣3）=4m2﹣12m+12=4（m﹣）2+3＞0，

∴函数图象与x轴一定有两个交点，

命题②正确；

③∵当x=1时的函数值与x=2017时的函数值相等，

∴当x=0和x=2018时的函数值相等，

∵当x=0时， y=x2﹣2mx+3m﹣3=3m﹣3，

∴当x=2018时，y=x2﹣2mx﹣3的函数值为﹣3，

命题③正确；

④当m=﹣1时，抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣6，

对称轴是：x=﹣1，

设y1=﹣x+1，y2=x+3，

当x=﹣1时，y1=1+1=2，y2=﹣1+3=2，

当y=0时，x1=1，x2=﹣3，

∴直线y=﹣x+1与直线y=x+3关于此二次函数对称轴对称，

命题④正确；

故选：C．