Question

如图，已知抛物线y=x²+bx+c与直线AB：y=x+相交于点A（1，0）和B（t，），直线AB交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点D是x轴上的一个动点，连接BD、CD，请问△BCD的周长是否存在最小值？若存在，请求出点D的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由．

（3）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．

Answer

（1）y=x2+x﹣，x=﹣1；（2）5+2；（3）能为矩形，M（﹣1，4）

【解析】

（1）利用待定系数法求函数解析式；

（2）的周长，其中为定值，当该三角形的周长最小时，需要的值最小，即点、、共线时，它们的值最小，所以利用轴对称的性质找到点的坐标；结合一次函数图象上点坐标求得点的坐标；

（3）需要分类讨论：①为四边形的边长；②为四边形的对角线.

①若为四边形的边长，作，交轴于点，又，构造，可得，根据直线与抛物线的交点的求法得到：直线与抛物线只有一个交点为；

②若为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，据此求得.

（1）对于y=-x+，

令y=得x=﹣4，

∴B（﹣4，）．

分别把A（1，0）和B（﹣4，）代入y=x2+bx+c，得 .

解得，

则该抛物线解析式为：y=x2+x﹣，

∵﹣=﹣1，

∴对称轴为直线x=﹣1；

（2）直线AB：y=-x+相交于点C（0，），

作点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，-），

连接BC′交x轴于点D，根据“两点之间线段最短”可得BD+CD的和最小，

从而△BCD的周长也最小，

∵B（﹣4，），C′（0，﹣），

∴直线BC′的解析式为y=﹣x﹣．

令y=0，可得x=﹣，

∴D（﹣，0），

∴当△BCD的周长最小时，点D的坐标为（﹣，0），

最小周长=BC+BC′=+=5+2；

（3）①

若AB为四边形的边长，

作AE⊥AB，交y轴于点E，又OA⊥CE，

∴△AOC∽△EOA，

∴OE=2OA=2，

∴E（0，﹣2）.

∴直线AE为y=2x﹣2，

令2x﹣2=x2+x﹣，

解得x1=x2=1，

∴直线AE与抛物线只有一个交点为A，

∴不存在满足题意的矩形；

②

若AB为四边形的对角线，当四边形是平行四边形时，对角线互相平分，有xA+xB=xM+xN，即：1+（﹣4）=﹣1+xN，

解得xN=﹣2．

把xN=﹣2代入y=x2+x﹣，

得yN=﹣，

由yA+yB=yM+yN得：yM=4，

∴M（﹣1，4），N（﹣2，﹣），

此时MN==，AB==，

∴MN=AB，

∴平行四边形AMBN为矩形，

综上，能为矩形，M（﹣1，4）．