Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．

求这个二次函数的表达式．

连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．

Answer

（1）；（2）点的坐标为；（3）点的坐标为，四边形的面积的最大值为．

【解析】

（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；

（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标；

（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标．

【解析】
将、两点的坐标代入得，

解得：；

所以二次函数的表达式为：；

存在点，使四边形为菱形；

设点坐标为，交于

若四边形是菱形，则有；

连接，则于，

∵，

∴，

又∵，

∴

∴；

∴

解得，（不合题意，舍去），

∴点的坐标为

过点作轴的平行线与交于点，与交于点，设，

设直线的解析式为：，

则，

解得：

∴直线的解析式为，

则点的坐标为；

当，

解得：，，

∴，，

当时，四边形的面积最大

此时点的坐标为，四边形的面积的最大值为．