Question

某公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克元，物价部门规定其销售单价每千克不高于元且不低于元，经市场调查发现，日销售量（千克）是销售单价（元）的一次函数，且当时，，当时，．

求与的函数解析式；

求该公司销售该原料日获利（元）与销售单价（元）之间的函数解析式；

求当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大利润是多少元？

Answer

（1）；（2）；（3）当销售单价为元时，该公司日获利最大，最大利润是元．

【解析】

（1）根据日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80，当x=50时，y=100，可以求得y与x的函数解析式；

（2）根据公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元，物价部门规定其销售单价每千克不高于60元且不低于30元，和第一问中求得的y与x的函数解析式，可以求得该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数解析式；

（3）将第（2）问中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次项系数和对称轴和x的取值范围可以确定当销售单价为多少元时，该公司日获利最大，最大利润是多少元．

【解析】
由题意可得，设与的函数解析式是：，

∵当时，，当时，，

∴，

解得，．

即与的函数解析式是：；

由题意可得，

，

即该公司销售该原料日获利（元）与销售单价（元）之间的函数解析式是：；

∵

∴

∴当时，随的增大而增大，

∵，

∴当时，取得最大值，此时（元），

即当销售单价为元时，该公司日获利最大，最大利润是元．