Question

如图（1），在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A坐标（6，0），点B在y轴上，点C在第三象限角平分线上，动点P、Q同时从点O出发，点P以1cm/s 的速度沿O→A→B匀速运动到终点B；点Q沿O→C→B→A运动到终点A，点Q在线段OC、CB、BA上分别作匀速运动，速度分别为V₁cm/s、V₂cm/s、V₃cm/s．设点P运动的时间为t（s），△OPQ的面积为S（cm²），已知S与t之间的部分函数关系如图（2）中的曲线段OE、曲线段EF和线段FG所示．

（1）V₁=　　，V₂=　　；

（2）求曲线段EF的解析式；

（3）补全函数图象（请标注必要的数据）；

（4）当点P、Q在运动过程中是否存在这样的t，使得直线PQ把四边形OABC的面积分成11：13两部分，若存在直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)3,;(2) S=•t•=t2+t（2＜t≤6;(3)见解析;(4)见解析.

【解析】

（1）观察图象可知，t=2时，点Q运动到点C位置，t=6时，点Q运动到点B位置．如图1中，作CE⊥x轴于E，CF⊥OB于F．利用图中信息，求出点C、B坐标即可解决问题．

（2）如图1中，当点Q在线段BC上时，作QN⊥OE于N，交CF于M．由QM∥BF，可得=，推出=，可得QM=，QN=，可得S=•t•=t2+t（2＜t≤6）．

（3）利用描点法即可解决问题；

（4）分两种情形构建方程即可解决问题；

【解析】
（1）观察图象可知，t=2时，点Q运动到点C位置，t=6时，点Q运动到点B位置．

如图1中，作CE⊥x轴于E，CF⊥OB于F．

由题意6=×2×CE，

∴CE=6，

∵∠COE=45°，

∴CE=OE=OF=CF=6，OC=6，

∴V1==3cm/s，

在Rt△CBF中，BC==2，

∴V2==cm/s，

故答案为3，．

（2）如图1中，当点Q在线段BC上时，作QN⊥OE于N，交CF于M．

∵QM∥BF，

∴=，

∴=，

∴QM=，QN=，

∴S=•t•=t2+t（2＜t≤6）．

（3）在S=•t•=t2+t（2＜t≤6）上取点（3，），（4，14），

函数图象如图所示：

（4）如图3中，由题意满足条件的点Q在线段BC上，点P在线段OA上．

∵四边形AOCB的面积为48，

∴当四边形POCQ的面积=22或26时，满足条件，

∵S四边形POCQ=S△ECQ+S△PEQ，

则有：×6×+•（6+t）•=22或×6×+•（6+t）•=26，

解得t=﹣17+或﹣17+3（负根已经舍弃）．

∴t=﹣17+或﹣17+3s时，直线PQ把四边形OABC的面积分成11：13两部分．