Question

某商品现在售价为每件40元，每天可卖200件，该商品将从现在起进行90天的销售：在第x（1≤x≤49）天内，当天售价都较前一天增加1元，销量都较前一天减少2件；在x（50≤x≤90）天内，当天的售价都是90元，销售仍然是较前一天减少2件，已知该商品的进价为每件30元，设销售商品的当天利润为y元．

（1）求出y与x的函数关系式；

（2）销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天当天销售利润不低于4800元？

Answer

（1）y=；（2）销售该商品第45天时，销售利润最大，最大利润为6050元．（3）共有41天当天销售利润不低于4800元．

【解析】

（1）根据：总利润=（售价﹣成本）×销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；

（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，比较大小可得答案；

（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，解不等式即可的x的范围，可得答案

（1）当1≤x≤49时，当天售价为（40+x）元，出售商品（200﹣2x）件，∴y=（40+x﹣30）（200﹣2x）=﹣2x2+180x+2000；

当50≤x≤90时，当天售价为90元，出售量为（200﹣2x），∴y=（90﹣30）（200﹣2x）=﹣120x+12000；

∴y=．

（2）当1≤x≤49时，y=﹣2x2+180x+2000=﹣2（x﹣45）2+6050，∴当x=45时，y取得最大值6050；

当50≤x≤90时，由y=﹣120x+12000知，y随x的增大而减小，∴当x=50时，y取得最大值6000．

∵6050＞6000，∴销售该商品第45天时，销售利润最大，最大利润为6050元．

（3）①当1≤x≤49时，﹣2x2+180x+2000≥4800，

解得：20≤x≤70，∴20≤x≤49；

②当50≤x≤90时，﹣120x+12000≥4800，

解得：x≤60，∴50≤x≤60；

综上：20≤x≤60，∴从第20天起直到第60天止，每天的销售利润都不低于4800元，

故共有41天当天销售利润不低于4800元．