Question

设a，b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”．如函数y=﹣x+4，当x=1时，y=3；当x=3时，y=1，即当1≤x≤3时，恒有1≤y≤3，所以说函数y=﹣x+4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y=x也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．

（1）反比例函数y=是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；

（2）如果已知二次函数y=x²﹣4x+k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，求k和t的值；

（3）如果（2）所述的二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，B为直线x=1上的一点，当△ABC为直角三角形时，写出点B的坐标．

Answer

见解析.

【解析】

（1）由k＞0可知反比例函数y=在闭区间[1，2016]上y随x的增大而减小，然后将x=1，x=2018别代入反比例解析式的解析式，从而可求得y的范围，于是可做出判断；
（2）先求得二次函数的对称轴为x=1，a=1＞0，根据二次函数的性质可知y=x2-4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大，然后将x=2，y=k-4，x=t，y=t2-4t+k分别代入二次函数的解析式，从而可求得k的值；
（3）根据勾股定理的逆定理，可得方程，根据解方程，可得答案．

（1）∵k=2018，

∴当1≤x≤2018时，y随x的增大而减小．

∴当x=1时，y=2018，x=2018时，y=1．

∴1≤y≤2108．

∴反比例函数y= 是闭区间[1，2018]上的“闭函数”．

（2）∵x=﹣=2，a=1＞0，

∴二次函数y=x2﹣4x+k在闭区间[2，t]上y随x的增大而增大．

∵二次函数y=x2﹣2x﹣k是闭区间[2，t]上的“闭函数”，

∴当x=2时，y=k﹣4，x=t时，y=t2﹣4t+k．

，

解得k=6，t=3，t=﹣2，

因为t＞2，

∴t=2舍去，

∴t=3．

（3）由二次函数的图象交y轴于C点，A为此二次函数图象的顶点，得

A（2，2），C（0，6）设B（1，t），

由勾股定理，得AC2=22+（2﹣6）2，AB2=（2﹣1）2+（2﹣t）2，BC2=12+（t﹣6）2，

①当∠ABC=90°时，AB2+BC2=AC2，即

（2﹣1）2+（2﹣t）2+（t﹣6）2+1=22+（2﹣6）2，

化简，得t2﹣8t+11=0，解得t=4+或t=4﹣，

B（1，4+），（1，4﹣）；

②当∠BAC=90°是，AB2+AC2=BC2，

即（2﹣1）2+（2﹣t）2+22+（2﹣6）2=12+（t﹣6）2，

化简，得8t=12，

解得t=，

B（1，），

③当∠ACB=90°时，AC2+CB2=AB2，

即22+（2﹣6）2+12+（t﹣6）2=（2﹣1）2+（2﹣t）2，

化简，得2t=13，

解得t= ，

B（1，），

综上所述：当△ABC为直角三角形时，点B的坐标（1，4+），（1，4﹣），（1，），（1，）．