Question

某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%．经试销发现，销售量P（件）与销售单价x（元）符合一次函数关系，当销售单价为65元时销售量为55件，当销售单价为75元时销售量为45件．

（Ⅰ）求P与x的函数关系式；

（Ⅱ）若该商场获得利润为y元，试写出利润y与销售单价x之间的关系式；

（Ⅲ）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？

Answer

（Ⅰ）P=﹣x+120；（Ⅱ）y=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900；（Ⅲ）销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．

【解析】

试题（Ⅰ）利用待定系数法求解可得；
（Ⅱ）根据“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式；
（Ⅲ）根据“销售单价不低于成本单价且获利不得高于50%”得出x的取值范围，再结合二次函数的性质求解可得．

试题解析：

（Ⅰ）设P=kx+b，

根据题意，得： ，

解得： ，

则P=﹣x+120；

（Ⅱ）y=（x﹣60）（﹣x+120）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900；

（Ⅲ）∵销售单价不低于成本单价，且获利不得高于50%，

∴60≤x≤（1+50%）×60，即60≤x≤90，

又当x≤90时，y随x的增大而增大，

∴当x=90时，y取得最大值，最大值为900，

答：销售单价定为90元时，商场可获得最大利润，最大利润是900元．