Question

如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E．

（1）求证：直线DE是⊙O的切线；

（2）若cos∠BAC=，⊙O的半径为6，求线段CD的长．

Answer

(1)见解析;(2)4.

【解析】

试题(1)连接OD，OB，根据AB为直角得到∠ADB=90°，根据AB=BC，D为中点得到OD为中位线，根据中位线的性质得出∠ODE=90°；(2)根据半径得到AB=12，根据Rt△ABD中∠BAC的余弦值得出AD，根据中线的性质得出答案.

试题解析：（1）直线DE与⊙O相切。

理由：

连接BD、OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，

∵BA=BC，∴D为AC中点，又O是AB中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，

∴∠BFE=∠ODE，∵DE⊥BC，∴∠BFE=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴直线DE是⊙O的切线；

（2）∵⊙O的半径为6，∴AB=12，在Rt△ABD中，cos∠BAC=∴AD=4，由（1）知BD是△ABC的中线，

∴CD=AD=4