Question

如图，抛物线与直线l:交于点A（4，2）、B（0，﹣1）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D在直线l下方的抛物线上，过点D作DE∥y轴交l于E、作DF⊥l于F，设点D的横坐标为t．

①用含t的代数式表示DE的长；

②设Rt△DEF的周长为p，求p与t的函数关系式，并求p的最大值及此时点D的坐标；

（3）点M在抛物线上，点N在x轴上，若△BMN是以M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点M的坐标．

Answer

（1）y=x2﹣x﹣1；（2）①DE=﹣t2+2t（0＜t＜4）；②p与t的函数关系式为p=﹣（t﹣2）2+（0＜t＜4），当t=2时，pmax=，此时D（2，﹣）；（3）点M的坐标为（，），（，），（，﹣），（，﹣）．

【解析】

（1）将A，B两点坐标代入抛物线解析式求解即可；

（2）①根据D，E分别在抛物线和直线上，则可设D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），然后求出DE长即可；

②首先求出直线AB与x轴交于G（，0），利用勾股定理求出BG=，则△OBG的周长为4，易证△GBO∽△DEF，再利用相似三角形的性质即可得到p与t的函数关系式，然后求出p最大值时t的值即可得到D的坐标；

（3）以点M在y轴左侧为例，如图，过M作x轴的垂线，设垂足为R，过点B作MR的垂线，设垂足为S，通过“角边角”证明△MNR≌△BMS，则MR=BS=OR，故可设M（a，±a），然后代入抛物线解析式求出a的值即可.

（1）由题意，知：

，

解得，

故抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；

（2）①D在y=x2﹣x﹣1上，E在，

可设D（t，t2﹣t﹣1），E（t，t﹣1），

则DE=t﹣1﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t（0＜t＜4）；

②∵在y=x﹣1中，令y=0得x=，

∴直线AB与x轴交于G（，0），

∴BG==，

∴△OBG的周长为1++=4；

∵DE∥y轴，

∴△GBO∽△DEF，

∴，

∴p=﹣t2+t=﹣（t﹣2）2+（0＜t＜4），

∴当t=2时，pmax=，此时D（2，﹣）；

（3）以点M在y轴左侧为例，如图，

过M作x轴的垂线，设垂足为R，过点B作MR的垂线，设垂足为S，

在△MNR与△BMS中，

，

∴△MNR≌△BMS（ASA），

∴MR=BS=OR；

则可设M（a，±a），

当点M的坐标为（a，a）时，有：

a2﹣a﹣1=a，解得：a=；

当点M的坐标为（a，﹣a）时，有：

a2﹣a﹣1=﹣a，解得：a=；

综上，点M的坐标为（，），（，），（，﹣），（，﹣）．