Question

已知关于x的一元二次方程mx²+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）．

（1）求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）若抛物线y=mx²+（1﹣5m）x﹣5与x轴交于A（x₁，0）、B（x₂，0）两点，且|x₁﹣x₂|=6，求m的值；

（3）若m＞0，点P（a，b）与Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点P、Q不重合），求代数式4a²﹣n²+8n的值．

Answer

（1）证明见解析；（2）m=1或m=﹣；（3）4a2﹣n2+8n=16．

【解析】

（1）直接利用△=b2-4ac，进而利用偶次方的性质得出答案；

（2）首先解方程，进而由|x1-x2|=6，求出答案；

（3）利用（2）中所求得出m的值，进而利用二次函数对称轴得出答案．

（1）证明：由题意可得：

△=（1-5m）2-4m×（-5）

=1+25m2-10m+20m

=（5m+1）2＞0，

故无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根；

（2）【解析】
mx2+（1-5m）x-5=0，

解得：x1=-，x2=5，

由|x1-x2|=6，

得|--5|=6，

解得：m=1或m=-；

（3）【解析】
由（2）得，当m＞0时，m=1，

此时抛物线为y=x2-4x-5，其对称轴为：x=2，

由题已知，P，Q关于x=2对称，

∴=2，即2a=4-n，

∴4a2-n2+8n=（4-n）2-n2+8n=16．