Question

已知抛物线y=ax²+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x₀，y₀），点A（1，y_A），B（0，y_B），C（﹣1，y_C）在该抛物线上，当y₀≥0恒成立时，的最小值为（　　）

A. 1    B. 2    C. 4    D. 3

Answer

D

【解析】

主要是要是通过相似三角形边的对应关系，构造所求的式子，并对结果找到限制条件即可

由0＜2a＜b，得x0=﹣＜﹣1，

由题意，如图，过点A作AA1⊥x轴于点A1，

则AA1=yA，OA1=1，

连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB﹣yC，CD=1，

过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0），

则∠FAA1=∠CBD，

于是Rt△AFA1∽Rt△BCD，

所以=，即=，

过点E作EG⊥AA1于点G，

易得△AEG∽△BCD．

有=，即=，

∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（﹣1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，

得yA=a+b+c，yB=c，yC=a﹣b+c，yE=ax12+bx1+c，

∴==1﹣x1，

化简，得x12+x1﹣2=0，解得x1=﹣2（x1=1舍去），

∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜﹣1，

则1﹣x2≥1﹣x1，即1﹣x2≥3，

∴≥3，

∴的最小值为3．

故选D.