Question

如图，点P为x轴正半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图象于点A，交函数的图象于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，边接AC．

（1）当点P的坐标为（1，0）时，求△ABC的面积；

（2）当点P的坐标为（1，0）时，在y轴上是否存在一点Q，使A、O、Q三点为顶点的三角形△QAO为等腰三角形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）请你连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由．

Answer

（1）；（2）则Q的坐标为（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；

（3）见解析.

【解析】

（1）根据P点坐标先求出A，B两点坐标，然后求出C点坐标，得到AB=3，BC=，再利用三角形面积公式求解即可；

（2）如图①，先求得OA=，再分OA=OQ，AQ=AO，QO=QA三种情况，分别求出Q点坐标即可；

（3）如图②过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，因为点P的坐标为（t，0），所以点A的坐标为（t，），点B（t，），点C（，），由图②可知S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP，进而可得到关于t的方程，然后解方程即可.

【解析】
（1）当点P的坐标为（1，0）时，点A、B的横坐标为1，

∵点A在反比例函数y=上，点B在反比例函数y=上，

∴点A（1，1），点B（1，4），

∵BC∥x轴，

∴点C的纵坐标为4，

又∵点C在y=上，

∴点C的坐标为（，4），

∴AB=3，BC=，

∴S△ABC=×BC×AB=；

（2）如图①所示：OA==，

①若OA=OQ，点Q位于Q1或Q2位置，此时Q1（0，﹣），Q2（0，）；

②若AQ=AO，点Q位于Q3位置，此时Q3（0，2）；

③若QO=QA，点Q位于Q4位置，此时Q4（0，1）；

则Q的坐标为（0，﹣），（0，），（0，2）或（0，1）；

（3）过点C作CE⊥x轴于点E，CD⊥y轴于点D，如图②所示：

∵点P的坐标为（t，0），

∴点A的坐标为（t，），点B（t，），点C（，），

∴S△OAC=S矩形CDOE+S梯形APEC﹣S△OCD﹣S△OAP=1+（+）×（t﹣）﹣﹣=；

故△OAC的面积不随t的值的变化而变化．