Question

已知，点为二次函数图象的顶点，直线分别交轴正半轴，轴于点，.

（1）判断顶点是否在直线上，并说明理由.

（2）如图1，若二次函数图象也经过点，，且，根据图象，写出的取值范围.

（3）如图2，点坐标为，点在内，若点，都在二次函数图象上，试比较与的大小.

Answer

（1）点在直线上，理由见解析；（2）的取值范围为或.（3）①当时，；②当时，；③当时，.

【解析】（1）写出点的坐标，代入直线进行判断即可.

（2）直线与轴交于点为，求出点坐标，把在抛物线上，代入求得，求出二次函数表达式，进而求得点A的坐标，数形结合即可求出时，的取值范围.

（3）直线与直线交于点，与轴交于点，而直线表达式为，联立方程组，得.点，.分三种情况进行讨论.

【解答】

（1）∵点坐标是，

∴把代入，得，

∴点在直线上.

（2）如图1，∵直线与轴交于点为，∴点坐标为.

又∵在抛物线上，

∴，解得，

∴二次函数的表达式为，

∴当时，得，，∴.

观察图象可得，当时，

的取值范围为或.

（3）如图2，∵直线与直线交于点，与轴交于点，

而直线表达式为，

解方程组，得.∴点，.

∵点在内，

∴.

当点，关于抛物线对称轴（直线）对称时，

，∴.

且二次函数图象的开口向下，顶点在直线上，

综上：①当时，；

②当时，；

③当时，.