Question

如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA²=OE•OP；③S_△AOD=S_{四边形OECF}；④当BP=1时，tan∠OAE=，其中正确结论的个数是（　　）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Answer

C

【解析】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，

∵BP=CQ，

∴AP=BQ，

在△DAP与△ABQ中， ，

∴△DAP≌△ABQ，

∴∠P=∠Q，

∵∠Q+∠QAB=90°，

∴∠P+∠QAB=90°，

∴∠AOP=90°，

∴AQ⊥DP；

故①正确；

∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠DAO=∠P，

∴△DAO∽△APO，

∴ ，

∴AO2=OD•OP，

∵AE＞AB，

∴AE＞AD，

∴OD≠OE，

∴OA2≠OE•OP；故②错误；

在△CQF与△BPE中 ，

∴△CQF≌△BPE，

∴CF=BE，

∴DF=CE，

在△ADF与△DCE中， ，

∴△ADF≌△DCE，

∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，

即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；

∵BP=1，AB=3，

∴AP=4，

∵△AOP∽△DAP，

∴ ，

∴BE=，∴QE=，

∵△QOE∽△PAD，

∴ ，

∴QO=，OE=，

∴AO=5﹣QO=，

∴tan∠OAE==，故④正确，

故选C．