Question

如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，求：

（1）CD的长；

（2）△ABC的角平分线AE交CD于点F，交BC于E点，求证：∠CFE=∠CEF．

Answer

（1）CD＝；（2）见解析

【解析】

（1）用不同的方法表示直角三角形的面积，列式计算即可得；

（2）根据直角三角形两锐角互余可得∠CAE+∠CEF=90°，∠FAD+∠AFD=90°，再根据∠CAE=∠FAD，以及∠AFD=∠CFE通过等量代换即可证得.

（1）由题意得，S△ABC=×AB×CD=×AC×BC，

∴×CD×10=×6×8，

解得CD=；

（2）∵∠ACB=90°，

∴∠CAE+∠CEF=90°，

∵CD是AB边上的高，

∴∠FAD+∠AFD=90°，

∵AE是∠CAB的平分线，

∴∠CAE=∠FAD，

∴∠CEF=∠AFD，又∵∠AFD=∠CFE，

∴∠CFE=∠CEF．