Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）

（1）若△CEF与△ABC相似，且当AC=BC=2时，求AD的长；

（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，求AD的长；

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

Answer

(1);(2) 1.8或2.5;(3) 当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由见解析.

【解析】

试题（1）△CEF与△ABC相似，又AC=BC=2，可得CE=CF，再证D为AB中点，即可求解；（2）分两种情况：①当△CEF∽△CAB时，此时EF∥AB，证得CD⊥AB，则可利用AD=AC•cosA求解；②当△CEF∽CBA时，分别证得AD=CD，CD=BD，则可求得AD=AB=2.5；（3）利用直角三角形中线的性质得CD=DB，则∠DCB=∠B．又可知∠DCB+∠CFE=90°，∠B+∠A=90°，可证得∠CFE=∠A，则可证得△CEF∽△CBA.

解：（1）如答图1．∵△CEF∽△ABC，∴=，

又∵AC=BC=2，∴CE=CF，

由翻折性质得CE=DE,CF=DF，∴四边形CEDF是菱形，

∴∠ACD=∠BCD，

又∵AC=BC，∴AD=BD=AB=×=.

（2）若△CEF与△ABC相似，且当AC=3，BC=4时，有两种情况：

①当△CEF∽△CAB时，如答图2．

此时∠CEF=∠A，∴EF∥BC．

由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB=5，∴cosA=．

∴在Rt△ACD中，AD=AC•cosA=3×=1.8；

②当△CEF∽CBA时，如答图3．

此时∠CEF=∠B．

由折叠性质可知，∠CQE=90°，∴∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．

同理可得CD=BD，

∴AD=AB=×5=2.5．

综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．

（3）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：

如答图4，连接CD，与EF交于点Q．

∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B.

由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，

又∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，

又∵∠ECF=∠BCA，∴△CEF∽△CBA.