Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC上的一点，且AE=AD，又DF⊥AE于点F

（1）求证：CE=EF；

（2）若EF=2，CD=4，求矩形ABCD的面积．

Answer

（1）证明见解析（2）20

【解析】

（1）连接DE，利用矩形的性质，则可证得Rt△ABE≌Rt△DFA，进一步可证得Rt△DFE≌Rt△DCE，则可证得结论；

（2）设BE=x，则AF=x，AE=x+2，在Rt△ABE中，利用勾股定理，可求得AE，则可求得BC的长，可求得矩形ABCD的面积．

（1）如图，连接DE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠AEB，

∵DF⊥AE，

∴∠AFD=∠B=90°．

又∵AD=AE，

∴Rt△ABE≌Rt△DFA．

∴AB=CD=DF．

又∵∠DFE=∠C=90°，DE=DE，

∴Rt△DFE≌Rt△DCE．

∴EC=EF；

（2）∵EF=EC=2，CD=AB=4，

∴设BE=x，则AF=x，AE=x+2．

在Rt△ABE中，∵BE2+AB2=AE2，

∴42+x2=（x+2）2．

解这个方程得：x=3，

∴BC=5．

∴矩形ABCD的面积=5×4=20．