Question

如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与

OD的延长线交于点P，PC、AB的延长线交于点F．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若∠ABC=60°，AB=10，求线段CF的长．

Answer

（1）证明见解析（2）5

【解析】

（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；

（2）先证△OBC是等边三角形得∠COB=60°，再由（1）中所证切线可得∠OCF=90°，结合半径OC=5可得答案．

（1）连接OC．

∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC．

在△OAP和△OCP中，∵，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP．

∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°，∴∠OCP=90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．

（2）∵OB=OC，∠OBC=60°，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60°．

∵AB=10，∴OC=5．

由（1）知∠OCF=90°，∴CF=OC•tan∠COB=5．