Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，点E为AB的中点．以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB的异侧），连接CD．则△ACD的面积为_____．

Answer

1+

【解析】根据圆的定义，证明D、A、C、B四点共圆，可得∠ADF=45°，作高线AF，构建等腰直角△ADF和30度的直角△AFC，可以求得AF、DF、CF的长，利用三角形面积公式可得结论．

连接CE，

∵∠ACB=90°，E为AB的中点，

∴CE=AE=BE，

∵△ADE是等边三角形，

∴DE=AE，

∴DE=AE=CE=BE，

∴D、A、C、B在以点E为圆心的圆上，作⊙E，

∴∠ADC=∠ABC=45°，

过A作AF⊥CD于F，

∴△ADF是等腰直角三角形，

∵AD=AE=AB=2，

∴AF=DF==，

∵∠CAF=∠DAB+∠BAC﹣∠DAF=60°+45°﹣45°=60°，

∴∠ACF=30°，

∴AC=2AF=2，

由勾股定理得：CF===，

∴S△ADC=CD•AF=（+）×=1+，

故答案为：1．