Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC为直径，弧AE=弧BD，BE⊥DC交DC的延长线于点E．

（1）求证：∠1=∠BCE；

（2）求证：BE是⊙O的切线；

（3）若EC=1，CD=3，求cos∠DBA．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

（1）过点B作BF⊥AC于点F，证△ABF≌△DBE（AAS），得BF=BE，又BE⊥DC，BF⊥AC，所以，∠1=∠BCE；（2）连接BO，证∠BAC=∠EBC，由OA=OB，得∠BAC=∠OBA，∠EBC=∠OBA，所以，∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，根据切线的判定得出即可；（3）由（2）可知：∠EBC=∠CBF=∠BAC，证△EBC≌△FBC（AAS），得CF=CE=1，由（1）可知：AF=DE=4，AC=CF+AF=5，故cos∠DBA=cos∠DCA==.

（1）过点B作BF⊥AC于点F，

在△ABF与△DBE中，

∴△ABF≌△DBE（AAS）

∴BF=BE，

∵BE⊥DC，BF⊥AC，

∴∠1=∠BCE

（2）连接OB，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，即∠1+∠BAC=90°，

∵∠BCE+∠EBC=90°，且∠1=∠BCE，

∴∠BAC=∠EBC

∵OA=OB，

∴∠BAC=∠OBA，

∴∠EBC=∠OBA，

∴∠EBC+∠CBO=∠OBA+∠CBO=90°，

∴BE是⊙O的切线

（3）由（2）可知：∠EBC=∠CBF=∠BAC，

在△EBC与△FBC中，

∴△EBC≌△FBC（AAS）

∴CF=CE=1

由（1）可知：AF=DE=1+3=4，

∴AC=CF+AF=1+4=5，

∴cos∠DBA=cos∠DCA==