Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论：

①关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的根是﹣1，3；②abc＞0；③a+b=c﹣b；④y_最大值=c；⑤a+4b=3c中正确的有_____（填写正确的序号）

Answer

①③④

【解析】

由抛物线与x轴的一个交点坐标及对称轴为x=1，利用对称性得到另一个交点的坐标，可得出ax2+bx+c=0的两个解为-1，3，选项①正确；由抛物线开口向下得到a小于0，对称轴在y轴右侧，得到b大于0，与y轴交点在正半轴得到c大于0，进而得到abc小于0，选项②错误; ③由对称轴是：x=1=﹣，得b=﹣2a，所以，a+b=﹣a，由抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），得a﹣b+c=0，所以，a+b=c﹣b，选项③正确；

④由a﹣b+c=0和b=﹣2a得：a=﹣c，所以，y最大值==，选项④正确；

⑤a+4b=﹣7a=﹣7×=，选项⑤错误；

①∵抛物线与x轴一个交点为（3，0），且对称轴为x=1，

∴抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），

即关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为﹣1，3，

选项①正确；

②∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴，

∴ab＜0，c＞0，即abc＜0，

选项②错误；

③由对称轴是：x=1=﹣，得b=﹣2a，

∴a+b=a﹣2a=﹣a，

∵抛物线与x轴另一个交点为（﹣1，0），

∴a﹣b+c=0，

∴c﹣b=﹣a，

∴a+b=c﹣b，

选项③正确；

④由a﹣b+c=0和b=﹣2a得：a=﹣c，

∴y最大值==c﹣=c﹣=c﹣（﹣c）=，

选项④正确；

⑤∵a+4b=a﹣8a=﹣7a=﹣7×=，

选项⑤错误；

综上所述，本题正确的结论有：①③④；

故答案为：①③④