Question

如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点F为边AD上一点，连接BF交对角线AC于点G．

（1）如图1，已知CF⊥AD于F，菱形的边长为6，求线段FG的长度；

（2）如图2，已知点E为边AB上一点，连接CE交线段BF于点H，且满足∠FHC=60°，CH=2BH，求证：AH⊥CE．

Answer

（1）；（2）答案见解析．

【解析】

试题（1）算出FC．在Rt△BFC中，由勾股定理得到BF的长，再由△AFG∽△CBG，得到FG=BF，即可得到结论；

（2）取CH的中点M，连接BM．证明△ABH△BCM，得到∠AHB=∠BMC=150°，从而得到∠AHE=90°，即可得到结论．

试题解析：【解析】
（1）∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AD=AB=BC=CD=AC，∠FAC=60°．∵菱形边长为6，∴AF=DF=3，FC=AF= ．∵∠BCF=90°，∴BF==．∵AD//BC，∴△AFG△CBG．

∵CF⊥AD，∴AF=AD=BC，∴，∴FG=BF=．

（2）取CH的中点M，连接BM．

∵CH=2BH，∴CM=HM=BH，∴∠HBM=∠HMB．

∵∠FHC=60°，∠FHC=∠HBM+∠HMB，∴∠HMB=30°，∴∠BMC=150°．

∵∠FHC=∠HBC+∠HCB=60°，∠ABC=∠HBC+∠ABH=60°，∴∠HCB=∠ABH，∴△ABH△BCM（SAS），∴∠AHB=∠BMC=150°．

∵∠BHE=∠FHC=60°，∴∠AHE=∠AHB-∠BHE=90°，∴AH⊥CE．