Question

如图1，抛物线y₁=ax²﹣x+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，），抛物线y₁的顶点为G，GM⊥x轴于点M．将抛物线y₁平移后得到顶点为B且对称轴为直线l的抛物线y₂．

（1）求抛物线y₂的解析式；

（2）如图2，在直线l上是否存在点T，使△TAC是等腰三角形？若存在，请求出所有点T的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）点P为抛物线y₁上一动点，过点P作y轴的平行线交抛物线y₂于点Q，点Q关于直线l的对称点为R，若以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，求直线PR的解析式．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）应用待定系数法求解析式；

（2）设出点T坐标，表示△TAC三边，进行分类讨论；

（3）设出点P坐标，表示Q、R坐标及PQ、QR，根据以P，Q，R为顶点的三角形与△AMG全等，分类讨论对应边相等的可能性即可．

（1）由已知，c=，

将B（1，0）代入，得：a﹣=0，

解得a=﹣，

抛物线解析式为y1=x2- x+，

∵抛物线y1平移后得到y2，且顶点为B（1，0），

∴y2=﹣（x﹣1）2，

即y2=-x2+ x-；

（2）存在，

如图1：

抛物线y2的对称轴l为x=1，设T（1，t），

已知A（﹣3，0），C（0，），

过点T作TE⊥y轴于E，则

TC2=TE2+CE2=12+（）2=t2﹣t+，

TA2=TB2+AB2=（1+3）2+t2=t2+16，

AC2=，

当TC=AC时，t2﹣t+=，

解得：t1=，t2=；

当TA=AC时，t2+16=，无解；

当TA=TC时，t2﹣t+=t2+16，

解得t3=﹣；

当点T坐标分别为（1，），（1，），（1，﹣）时，△TAC为等腰三角形；

（3）如图2：

设P（m，），则Q（m，），

∵Q、R关于x=1对称

∴R（2﹣m，），

①当点P在直线l左侧时，

PQ=1﹣m，QR=2﹣2m，

∵△PQR与△AMG全等，

∴当PQ=GM且QR=AM时，m=0，

∴P（0，），即点P、C重合，

∴R（2，﹣），

由此求直线PR解析式为y=﹣x+，

当PQ=AM且QR=GM时，无解；

②当点P在直线l右侧时，

同理：PQ=m﹣1，QR=2m﹣2，

则P（2，﹣），R（0，﹣），

PQ解析式为：y=﹣；

∴PR解析式为：y=﹣x+或y=﹣.