Question

如图，在锐角△ABC中，AC是最短边．以AC为直径的⊙O，交BC于D，过O作OE∥BC，交OD于E，连接AD、AE、CE．

（1）求证：∠ACE=∠DCE；

（2）若∠B=45°，∠BAE=15°，求∠EAO的度数；

（3）若AC=4，，求CF的长．

Answer

（1）证明见解析，（2）60°；（3）

【解析】

（1）易证∠OEC=∠OCE，∠OEC=∠ECD，从而可知∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；

（2）延长AE交BC于点G，易证∠AGC=∠B+∠BAG=60°，由于OE∥BC，所以∠AEO=∠AGC=60°，所以∠EAO=∠AEO=60°；

（3）易证，由于，所以=，由圆周角定理可知∠AEC=∠FDC=90°，从而可证明△CDF∽△CEA，利用三角形相似的性质即可求出答案．

（1）∵OC=OE，∴∠OEC=∠OCE．

∵OE∥BC，∴∠OEC=∠ECD，∴∠OCE=∠ECD，即∠ACE=∠DCE；

（2）延长AE交BC于点G．

∵∠AGC是△ABG的外角，∴∠AGC=∠B+∠BAG=60°．

∵OE∥BC，∴∠AEO=∠AGC=60°．

∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO=60°．

（3）∵O是AC中点，∴

，∴=．

∵AC是直径，∴∠AEC=∠FDC=90°．

∵∠ACE=∠FCD，∴△CDF∽△CEA，∴=，∴CF=CA=．