Question

如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合)DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE. 

 

(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形; 

(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.

(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM

①求∠CAM的度数; 

②当FH=,  DM=4时,求DH的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）见解析.

【解析】试题（1）只要证明AE=BM，AE∥BM即可解决问题；

（2）成立．如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED∥GM，由（1）可知AB=GM，AB∥GM，可知AB∥DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；

（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，只要证明MI=AM，MI⊥AC，即可解决问题；

②设DH=x，则AH=x，AD=2x，推出AM=4+2x，BH=4+2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出DF∥AB，推出，可得，解方程即可；

试题解析：（1）如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM，

∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB，

∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD=DC，∴△ABD≌△EDC，

∴AB=ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形．

（2）结论：成立．理由如下：

如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G．

∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED=GM，且ED∥GM，

由（1）可知AB=GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB=DE，∴四边形ABDE是平行四边形；

（3）①如图3中，取线段HC的中点I，连接MI，

∵BM=MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI=BH，

∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°．

②设DH=x，则AH=x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x，

∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴，

∴，解得x=或（舍弃），

∴DH=．