Question

如图，在平行四边形ABCD中，CE平分∠BCD，交AB边于点E，EF∥BC，交CD于点F，点G是BC边的中点，连接GF，且∠1=∠2，CE与GF交于点M，过点M作MH⊥CD于点H．

（1）求证：四边形BCFE是菱形；

（2）若CH=1，求BC的长；

（3）求证：EM=FG+MH．

Answer

（1）见解析；（2）2；（3）见解析.

【解析】

（1）由在平行四边形ABCD中，EF∥BC，可得四边形BCFE是平行四边形，又由CE平分∠BCD，易得△BCE是等腰三角形，继而证得四边形BCFE是菱形；
（2）由∠1=∠2，可得∠ECF=∠2，即△CMF是等腰三角形，又由MH⊥CD，可得CF=2CH，继而求得BC的长；
（3）首先连接BC交CF于点O，易得△BCF是等边三角形，继而可得OM=MH，OE=FG，则可证得结论．

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠1=∠ECF，

∵EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠ECF，

∴∠BCE=∠1，

∴BC=BE，

∴四边形BCFE是菱形；

(2)∵∠1=∠ECF，∠1=∠2，

∴∠ECF=∠2，

∴CM=FM，

∵MH⊥CD，

∴CF=2CH=2×1=2，

∵四边形BCFE是菱形；

∴BC=CF=2；

(3)连接BF交CE于点O，

∵G是BC中点，

∴

∵

∴CG=CH,

在△CGM和△CHM中，

∴△CGM≌△CHM(SAS)，

∴

即FG⊥BC，

∴CF=BF，

∵BC=CF，

∴BC=CF=BF，

∴△BCF是等边三角形，

∴

∴

∵BF⊥CE，

∴OM=MH，

∵OE=OC=FG，

∴EM=FG+MH.