Question

在平面直角坐标系中，已知二次函数y=k（x﹣ax﹣b），其中a≠b．

（1）若此二次函数图象经过点（0，k），试求a，b满足的关系式．

（2）若此二次函数和函数y=x²﹣2x的图象关于直线x=2对称，求该函数的表达式．

（3）若a+b=4，且当0≤x≤3时，有1≤y≤4，求a的值．

Answer

（1）ab=1；（2）y=x2﹣6x+8；（3）a=．

【解析】

（1）将（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），整理后即可得；

（2）由（1）知，k=1，易得函数y=x2﹣2x与x轴交点的坐标为（0，0）、（2，0），由对称性可知此二次函数与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），由此即可求得解析式；

（3）根据a+b=4，可得函数表达式变形为y=k（x﹣a）（x+a﹣4），然后分k＞0、k＜0两种情况分别讨论即可得.

（1）将（0，k）代入y=k（x﹣ax﹣b），得kab=k，

∵k≠0，

∴ab=1；

（2）由（1）知，k=1，

易得函数y=x2﹣2x与x轴交点的坐标为（0，0）、（2，0），

因为此二次函数和函数y=x2﹣2x的图象关于直线x=2对称，

所以此二次函数与x轴的交点坐标为（2，0），（4，0），

∴该函数解析式为：y=（x﹣2）（x﹣4）=x2﹣6x+8；

（3）∵a+b=4，

∴函数表达式变形为y=k（x﹣a）（x+a﹣4）．

①当k＞0时，则根据题意可得：当x=2，y=1；

当x=0时，y=4，

∴，

消去k，整理，得

3a2﹣12a+16=0，

∵△=﹣48＜0，

∴此方程无解；

②当k＜0时，则根据题意可得：当x=2，y=4，

当x=0时，y=1，

∴，

消去k，整理，得，

3a2﹣12a﹣4=0，

解得a=．