Question

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣2），点B（3m，2m+1），点C（6，2），点D．

（1）线段AC的中点E的坐标为_____；

（2）▱ABCD的对角线BD长的最小值为_____．

Answer

（3，0）

【解析】

（1）根据点A、点C的坐标，根据中点坐标公式进行求解即可得；

（2）如图，根据点B的坐标确定出B在直线y=x+1上，根据垂线段最短可得当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，由此根据已知条件添加辅助线进行求解即可得.

（1）∵点A（0，﹣2），点C（6，2），

∴线段AC的中点E的坐标为（3，0），

故答案为：（3，0）．

（2）如图，∵点B（3m，2m+1），

∴令，

∴y=x+1，

∴B在直线y=x+1上，

∴当BD⊥直线y=x+1时，BD最小，

过B作BH⊥x轴于H，则BH=2m+1，

∵BE在直线y=x+1上，且点E在x轴上，

∴E（﹣，0），G（0，1），

∵平行四边形对角线交于一点，且AC的中点一定在x轴上，

∴F是AC的中点，

∵A（0，﹣2），点C（6，2），

∴F（3，0），

在Rt△BEF中，BH⊥EF，

∴△BEH∽△FBH，

∴BH：FH=EH：BH，∴BH2=EH•FH，

∴（2m+1）2=（3m+）（3﹣3m），

解得：m=或﹣（舍弃），

∴B（，），

∴BF=，

∴BD=2BF=，

则对角线BD的最小值是，

故答案为：．