Question

如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点．

(1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由)

(2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由；

(3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由．

Answer

（1）AE是∠FAD的角平分线（2）成立（3）成立

【解析】

见详解

（1）AE是∠FAD的角平分线；

（2）成立，如图，延长FE交AD于点B，

∵E是DC的中点，

∴EC=ED，

∵FC⊥DC，AD⊥DC，

∴∠FCE=∠EDB=90°，

在△FCE和△BDE中，

,

∴△FCE≌△BDE，

∴EF=EB，

∵AE⊥FE，

∴AF=AB，

∴AE是∠FAD的角平分线；

（3）成立，如图，延长FE交AD于点B，

∵AD=DC，

∴∠FCE=∠EDB，

在△FCE和△BDE中，

,

∴△FCE≌△BDE，

∴EF=EB，

∵AE⊥FE，

∴AF=AB，

∴AE是∠FAD的角平分线.