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在△ABC中,BD,CE分别是∠ABC,∠ACB平分线,BD,CE相交于点P. ...

ABC中,BD,CE分别是∠ABC,ACB平分线,BD,CE相交于点P.

(1)如图1,如果∠A=60°,ACB=90°,则∠BPC= 

(2)如图2,如果∠A=60°,ACB不是直角,请问在(1)中所得的结论是否仍然成立?若成立,请证明:若不成立,请说明理由.

(3)小月同学在完成(2)之后,发CD、BE、BC三者之间存在着一定的数量关系,于是她在边CB上截取了CF=CD,连接PF,可证CDP≌△CFP,请你写出小月同学发现,并完成她的说理过程.

 

(1) 120°; (2) 成立 (3) BC=CD+BE 【解析】 (1)先根据三角形内角和定理求出∠ABC=30,再用角平分线的意义求出∠PCB=45°,∠PBC=15°,最后用三角形的内角和定理即可得出结论; (2)先根据角平分线的意义,求出∠ACB=2∠PCB,∠ABC=2∠PBC,再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB=120°,最后用三角形内角和定理即可得出结论; (3)先判断出△DCP≌△FCP(SAS),得出CD=CF,∠DPC=∠FPC=60°,进而判断出∠PBF=∠PBE,即可判断出△FPB≌△EPB,最后用等量代换即可得出结论. 【解析】 (1)∵∠A=60°,∠ACB=90°,根据三角形内角和定理得,∠ABC=180°﹣60°﹣90°=30°, ∵BD,CE分别是∠ABC,∠ACB平分线, ∴∠PCB=∠ACB=45°,∠PBC=∠PBC=15°, 在△PBC中,根据三角形的内角和定理得,∠BPC=180°﹣∠PCB﹣∠PBC=180°﹣45°﹣15°=120°, (2)结论仍然成立, 理由:∵BD,CE分别是∠ABC,∠ACB平分线, ∴∠ACB=2∠PCB,∠ABC=2∠PBC, ∵∠A=60°, 在△ABC中,∠A+∠ABC+∠ACB=180°, ∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=120°, ∴2∠PCB+2∠PBC=120°, ∴∠PCB+∠PBC=60°, 在△PBC中,∠BPC+∠PCB+∠PBC=180°, ∴∠BPC=180°﹣(∠PCB+∠PBC)=180°﹣60°=120° (3)BC=CD+BE,理由:如图2, 由(2)知,∠BPC=120°, ∴∠DPC=∠EPB=60°,在边CB上截取了CF=CD,连接PF, ∵CE是∠ACB的平分线, ∴∠DCP=∠FCP, 在△DCP和△FCP中, , ∴△DCP≌△FCP(SAS), ∴CD=CF,∠DPC=∠FPC=60°, ∴∠BPC=∠BPC﹣∠FPC=60°=∠EPB, ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠PBF=∠PBE, 在△FPB和△EPB中, , ∴△FPB≌△EPB,BF=BE, ∴BC=CF+BF=CD+BE.
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