Question

计算：

（1）（x﹣1）（x+1）=x²﹣1，

（x﹣1）（x²+x+1）=x³﹣1，

（x﹣1）（x³+x²+x+1）=　      　，

…

猜想：（x﹣1）（xⁿ+x^n﹣1+…+x²+x+1）=　     　，

（2）根据以上结果，试写出下面两式的结果

①（x﹣1）（x⁴⁹+x⁴⁸+…+x²+x+1）=　     　，

②（x²⁰﹣1）÷（x﹣1）=　        　，

（3）利用以上结论求值：1+3+3²+3³+3⁴+……+3²⁰¹⁷

Answer

（1）x4﹣1，xn+1﹣1；（2）x50﹣1，x19+x18+…+x+1；（3）.

【解析】

（1）根据已知等式，作出猜想；
（2）根据已知规律得出结果；
（3）原式变形后，利用已知规律计算求出值．

（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1，

（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1，

（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1，

…

猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x2+x+1）=xn+1﹣1，

（2）根据以上结果，试写出下面两式的结果

①（x﹣1）（x49+x48+…+x2+x+1）=x50﹣1，

②（x20﹣1）÷（x﹣1）=x19+x18+…+x+1，

（3）1+3+32+33+34+……+32017=（3﹣1）（32017+32016+…+3+1）=，

则原式=．

故答案为：（1）x4﹣1，xn+1﹣1；（2）x50﹣1，x19+x18+…+x+1