Question

如图，已知直角△ABC中，∠ABC=90°，BC为圆O的直径，D为圆O与斜边AC的交点，DE为圆O的切线，DE交AB于F，且CE⊥DE．

（1）求证：CA平分∠ECB；

（2）若DE=3，CE=4，求AB的长；

（3）记△BCD的面积为S₁，△CDE的面积为S₂，若S₁：S₂=3：2．求sin∠AFD的值．

Answer

（1）详见解析；（2） ；（3）.

【解析】

（1），连接OD，由DE是⊙O的切线可知OD⊥DE，由CE⊥DE，可知OD∥CE，进而可知∠ECD=∠CDO，因为∠CDO=∠DCO，所以∠ECD=∠DCO，即可证明.（2）连接BD，根据勾股定理可求出CD=5，所以tan∠ECD= = ，在根据各直角三角形中各边的函数关系即可求出AB的长.（3）过点D作DG⊥BC于G，由CA∠BCE，可知DG=DE，进而△CDG≌△CDE根据S1：S2=3：2得 ，得 ，所以BC=3BG，OD=OC= BC=BG，根据勾股定理可求出DG得长，进而可求出sin∠DOG的值，根据四边形内角和可知∠AFD=∠DOG，即可求出sin∠AFD的值．

（1）如图，连接OD，

∵DE是⊙O的切线，

∴OD⊥DE，

∵CE⊥DE，

∴OD∥CE，

∴∠ECD=∠CDO，

∵∠CDO=∠DCO，

∴∠ECD=∠DCO，

∴CA平分∠ECB；

（2）如图，连接BD，∵BD为直径，

∴∠BDC=90°，

在Rt△CED中，DE=3，CE=4，根据勾股定理得，DC=5，

∴tan∠ECD==，

∴BD=DC•tan∠DCB=，

∵∠BCD+∠CBD=90°，∠ABD+∠CBD=90°，

∴∠BCD=∠ABD，

在Rt△CDE中，cos∠DCE==，

∴cos∠BCD=，

∴cos∠ABD=，

在Rt△ABD中，cos∠ABD==，

∴AB=×=；

（3）如图，

过点D作DG⊥BC于G，

∵CA平分∠BCE，

∴DG=DE，

易知，△CDG≌△CDE，

∴S2=S△CDG=S△CDE，

∵S1：S2=3：2，

∴，

∴，

∴，

设BG=x，则CG=2x，

∴BC=BG+CG=3x，

∴OD=OC=BC=x，

∴OG=CG﹣OC=2x﹣x=x，

在Rt△ODG中，根据勾股定理得，DG=x，sin∠DOG== = ，

在四边形OBFD中，根据四边形内角和得，∠BFD+∠DOG=180°，

∵∠AFD+∠BFD=180°，

∴∠AFD=∠DOG，

∴sin∠AFD= ．