Question

如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

Answer

（1）见解析（2）10

【解析】

（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知条件可知,根据两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求出BG的长.

（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AD=AB=DC=BC, ∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴，

又∵DF=DC，∴

∴

∴△ABE∽△DEF；

（2）【解析】
∵四边形ABCD为正方形，

ED∥BG，

∴

又∵DF=DC，正方形的边长为4，

∴ED=2，CG=6，

BG=BC+CG=10.