Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过的三个顶点，已知点，，的直角顶点C在y轴上．

如图1，点D是抛物线第一象限内上的一个动点．

并直接写出点C的坐标，并求抛物线的解析式；

当动点D的坐标是多少时，四边形ABCD的面积最大？最大面积是多少？

如图2，长度为1个单位长度的线段MN在的边AB上运动，过M，N分别作AB的垂线交直角边于P，Q两点．

在线段MN运动过程中，若四边形MNQP是矩形，求点M的坐标；

在线段MN运动过程中，若以C、P、Q为顶点的三角形与相似，直接写出点M的坐标．

Answer

，；点D的坐标是时，四边形ABCD的面积最大，最大面积是；点的坐标为；M点的坐标为或．

【解析】

利用射影定理计算得，则，再设交点式，然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；

作轴交BC于E，如图1，先利用待定系数法确定直线BC的解析式为，设，则，则，利用二次函数的性质得当时，的最大值为，此时，然后计算对应的四边形ABCD的面积最大值；

易得AC的直线解析式为，设，则，，，利用矩形性质得，解方程求出t得到M点的坐标；

根据两点间的距离公式得到，，，，利用相似三角形的判定方法当时，∽，即；当时，∽，即，然后分别解方程求出即可得到对应的M点的坐标．

，，

，

，

，

设抛物线解析式为，

把代入得，解得，

抛物线解析式为，

即；

作轴交BC于E，如图1，

设直线BC的解析式为，

把，代入得，解得，

直线BC的解析式为，

设，则，

，

，

当时，的最大值为，此时，

四边形ABCD的面积最大值，

即动点D的坐标是时，四边形ABCD的面积最大，最大面积是；

易得AC的直线解析式为，

设，则，，，

四边形MNQP是矩形，

，解得，

点的坐标为；

，，，，

，

当时，∽，即，解得，此时；

当时，∽，即，解得，此时；

综上所述，M点的坐标为或．