Question

已知：如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D为顶点．

求抛物线解析式及点D的坐标；

若直线l过点D，P为直线l上的动点，当以A、B、P为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式；

如图2，E为OB的中点，将线段OE绕点O顺时针旋转得到，旋转角为，连接、，当取得最小值时，求直线与抛物线的交点坐标．

   

Answer

（1）；（2）或；（3）.

【解析】

由抛物线的交点式可知抛物线的解析式为，通过整理可得到抛物线的解析式，然后利用配方法可得到抛物线的定点坐标；

过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点以为直径的如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点了，以AB为直径作，作QD与相切，则，过作，先求得点的坐标，于是可求得l的解析式，由图形的对称性可知点的坐标还可以是，然后可求得另一种情况；

取使，连接，接下来，证明∽，从而可得到，故此当、、在一条直线上时，有最小值，最后，依据勾股定理求得的长度即可．

抛物线与x轴交于，两点，

．

，

抛物线的顶点坐标为．

过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点Q．

以AB为直径的如果与直线l相交，那么就有2个点Q；如果圆与直线l相切，就只有1个点Q了．

如图所示：以AB为直径作，作QD与相切，则，过Q作．

，，

．

．

又，

．

，

，

．

点Q的坐标为．

设l的解析式为，则，解得：，，

直线l的解析式为．

由图形的对称性可知：当直线l经过点时，直线l与相切，

则，

解得：，，

直线l的解析式为．

综上所述，直线l的解析式为或．

如图所示：取M使，连接．

，，，

，

．

又，

∽，

．

．

，

当M、、B在一条直线上时，有最小值，

的最小值．