Question

如图，正方形ABCD的边长为4，O是AD的中点，动点E在线段AB上，连接EO并延长交射线CD于点F，过O作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．

如图1，判断的形状，并说明理由；

如图1，设，的面积为y，求y关于x的函数关系式；

将点A沿直线EO翻折，得到点如图2，请计算在点E运动的过程中，点G运动路径的长度并分别求出当点G位于路径的起点和终点时，的值？

           

Answer

（1）等腰三角形，证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

由于四边形ABCD是正方形，所以正方形的四个边相等且对边平行，四个角都是直角，很容易证明≌，从而可得出结论．

设时，的面积为y，有两种情况，当点E与点A重合时，即时，可求出y的值，当点E不与点A重合时，，根据条件可证明∽，根据相似三角形的对应边成比例，可得出函数式．

分当点E与点A重合时，当点E与点B重合时两种情况进行解答即可．

等腰三角形．

证明：四边形ABCD是正方形，

，分，

在和中，

，

≌，

，

又，

，即是等腰三角形；

当点E与点A重合时，如图1所示，

，，

当点E不与点A重合时，

在中，，，

，

如图2所示，过O作，垂足为N

则，，，

，

，

，

，

∽；

，

，

．

；

当点E与点A重合时，如图1中，点与点A重合，易知，．

当点E与点B重合时，如图3中，连接，过点作交AD于M，交BC于

设，，则，，

则有，解得，

，，

由∽，可得，

点G运动路径的长度为，

在中，．