Question

如图，一次函数与坐标轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动，点Q从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线AO运动，两点同时出发，运动时间为t秒．

求此抛物线的表达式；

求当为等腰三角形时，所有满足条件的t的值；

点P在线段AB上运动，请直接写出t为何值时，的面积达到最大？此时，在抛物线上是否存在一点T，使得≌？若存在，请直接写出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)；（2）当为等腰三角形时，t的值为、或或4；（3）点T的坐标为．

【解析】

（1）先求得点A和点B的坐标，然后把点A和点B的坐标滴啊如抛物线的解析式可求得b、c的值，从而可得到抛物线的解析式；

（2）运动t秒后，AQ=t，BP=2t，先求得AB的长，然后分为QA=QP，AP=AQ，PA=PQ三种情况，求解即可；

（3）过点P作PF⊥AO于点F，延长FP交抛物线与点T．则AP=4-2t，PF=AP=2-t，然后可得到S△APQ与t的函数关系式，从而可求得t的值，于是可得到点P的坐标，从而可求得点T的坐标，然后再证明∴△APT≌△APO即可．

把代入中，得．

把代入中，得．

，

把，分别代入中，得，，

抛物线的表达式为

，，由勾股定理，得，

．

运动t秒后，，．

为等腰三角形，有，，三种情况，

当时，过点Q作于点D．

在中，，

，

．

解得；

当时，

若点P在x轴上方的直线AB上，，，

，

解得；

若点P在x轴下方的直线AB上，

，

，

解得：；

当时，过点P作于点E．

则，在中，

，

．

解得：

综上所述，当为等腰三角形时，t的值为、或或4．

过点P作于点F，延长FP交抛物线与点T．

为底边AQ上的高．

，，

．

．

当时，的面积最大此时点P为AB的中点，且．

连接OP，则，

点，

点T的横坐标为，

将代入抛物线的解析式得：．

．

在中，由勾股定理可知：，

．

≌．

点T的坐标为．