Question

如图，在矩形ABCD中，，，点E是射线BC上一动点，将沿AE翻折得到，延长AF交CD的延长线于点G，当时，线段DG的长为______．

Answer

或8

【解析】

情形①如图当点E在线段BC上时，设EF交AD于K．情形②如图当点E在线段BC的延长线上时，设EF交AD于K．分别求解即可解决问题.

情形①如图当点E在线段BC上时，设EF交AD于K．

∵BC=6，BE=3EC，

∴EC=，EB=EF=，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠ADG=90°，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB=∠AEK，

∴AK=EK，设AK=EK=x，

在Rt△AFK中，∠AFK=90°，AF=AB=3，FK=-x，

∴x2=32+（-x）2，

∴x=，

∴FK=EF-EK=，

∵tan∠DAG=，

∴，

∴DG=，

情形②如图当点E在线段BC的延长线上时，设EF交AD于K．

∵BC=6，BE=3EC

∴EC=3，EB=EF=9

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠ADG=90°，AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB=∠AEK，

∴AK=EK，设AK=EK=x，

在Rt△AFK中，∠AFK=90°，AF=AB=3，FK=9-x，

∴x2=32+（9-x）2，

∴x=5，

∴FK=EF-EK=4，

∵tan∠DAG= ，

∴，

∴DG=8，

故答案为或8．