Question

如图，直线y＝x＋b与抛物线y＝x²＋x＋c相交于点A（6，8）与点B，P是线段AB的中点，D是抛物线上的一个动点，直线DP交x轴于点C．

（1）分别求出这两个函数的关系式，并写出点B，P的坐标．

（2）四边形ACBD能否成为平行四边形？若能，请求出线段OC的长度；若不能，请说明理由．

（3）当点D的坐标为（4，2）时，△APD是什么特殊三角形？请说明理由，并写出所有符合这一特殊性的点D的坐标．

　　　　

Answer

（1）（－4，－2），（1，3）；（2）OC＝－3或＋3；（3）符合△APD是直角三角的点D还有：（－12，26），（－3＋，7－），（－3－，7＋）．

【解析】

（1）利用待定系数法,把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,

得b＝2,c＝－4,求得函数关系式为:y＝x＋2,y＝x2＋x－4,从而求出点B,P的坐标分别为（－4,－2）,（1,3）,

（2）作PE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,则DF＝2PE＝6,当y＝6时,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,然后分情况讨论:当点C在直线AB的左侧时（如答图1）,OF＝－1,进而可得:CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．因此可得:OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3;当点C在直线AB的左侧时（如答图2）,OF＝＋1,进而可得:CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,从而可得:OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3.

（3）作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,过点D作MN分别垂直AG,PE于M,N,可得:EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,AM＝AG－MG＝6进而可得:DP＝,AD＝2,根据AP＝5,可得:DP2＋AD2＝AP2,根据勾股定理逆定理可得:∠ADP＝90º,即△APD是直角三角形,符合△APD是直角三角的点D还有:（－12,26）,（－3＋,7－）,（－3－,7＋）.

（1）把点A的坐标分别代入y＝x＋b和y＝x2＋x＋c,

得b＝2,c＝－4,

∴y＝x＋2,y＝x2＋x－4,

点B,P的坐标分别为（－4,－2）,（1,3）,

（2）作PE⊥x轴于E,DF⊥x轴于F,则DF＝2PE＝6,

当y＝6时,x2＋x－4＝6,解得x＝－1±,

当点C在直线AB的左侧时（如答图1）,OF＝－1,

∴CE＝EF＝OF－OE＝(－1)－1＝－2．

∴OC＝CE－OE＝(－2)－1＝－3．

当点C在直线AB的左侧时（如答图2）,OF＝＋1，

∴CE＝EF＝OF＋OE＝(＋1)＋1＝＋2,

∴OC＝CE＋OE＝(＋2)＋1＝＋3．

综上所述,OC＝－3或＋3,

答图1 答图2 答图3

（3）当点D的坐标为（4,2）时,△APD是直角三角形,理由如下:

如答图3,作PE⊥BC于E,作DF⊥BC于F,AG⊥BC于G,

过点D作MN分别垂直AG,PE于M,N,

则EN＝DF＝MG＝2,DN＝EF＝OF－OE＝3,DM＝FG＝6－4＝2,

AM＝AG－MG＝6．

∴DP＝,AD＝2,

∵AP＝5,

∴DP2＋AD2＝AP2,

∴∠ADP＝90º,即△APD是直角三角形（用相似证明同样给分）,

符合△APD是直角三角的点D还有:（－12,26）,（－3＋,7－）,

（－3－,7＋）.