Question

如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）PQ的长是．

【解析】试题⑴先根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE，由ASA证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论.

⑵根据三角形中位线的性质可得 ，设 ，则

，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得 ，解得BE=10，

得到 ，设 ，则 ， ，计算得出 ，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得 ，由 即可求解.

试题解析：

（1）证明：∵ PQ垂直平分BE，

∴ QB=QE，OB=OE，

∵ 四边形ABCD是矩形，

∴ AD∥BC，

∴ ∠ PEO=∠ QBO，

在△ BOQ与△ EOP中，

，

∴ △ BOQ≌ △ EOP（ASA），

∴ PE=QB，

又∵ AD∥BC，

∴ 四边形BPEQ是平行四边形，

又∵ QB=QE，

∴ 四边形BPEQ是菱形；

（2）【解析】
∵ O，F分别为PQ，AB的中点，

∴ AE+BE=2OF+2OB=18，

设AE=x，则BE=18﹣x，

在Rt△ ABE中，62+x2=（18﹣x）2，

解得x=8，

BE=18﹣x=10，

∴ OB=BE=5，

设PE=y，则AP=8﹣y，BP=PE=y，

在Rt△ ABP中，62+（8﹣y）2=y2，解得y=，

在Rt△ BOP中，PO==，

∴ PQ=2PO=．