Question

如图22，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OM＝ON，OD＝OE，DN和EM相交于点C.求证：点C在∠AOB的平分线上．

Answer

见解析

【解析】

过点C分别作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,在△MOE和△NOD中,根据OM＝ON,∠MOE＝∠NOD,OE＝OD,可判定△MOE≌△NOD,根据全等三角形的性质可得:S△MOE＝S△NOD,继而可得S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE,即S△MDC＝S△NEC.

由三角形面积公式得DM·CG＝EN·CF.由于OM＝ON,OD＝OE,所以DM＝EN,CG＝CF.

根据CG⊥OA,CF⊥OB,可证点C在∠AOB的平分线上．

证明：过点C分别作CG⊥OA于点G,CF⊥OB于点F,

如图．

在△MOE和△NOD中,OM＝ON,∠MOE＝∠NOD,OE＝OD,

∴△MOE≌△NOD(SAS)，

∴S△MOE＝S△NOD,

∴S△MOE－S四边形ODCE＝S△NOD－S四边形ODCE,

即S△MDC＝S△NEC.

由三角形面积公式得DM·CG＝EN·CF.

∵OM＝ON,OD＝OE,

∴DM＝EN,

∴CG＝CF.

又∵CG⊥OA,CF⊥OB,

∴点C在∠AOB的平分线上．