Question

现有正方形ABCD和一个以O为直角顶点的三角板，移动三角板，使三角板两直角边所在直线分别与直线BC、CD交于点M、N．

（1）如图1，若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是　   　；

（2）如图2，若点O在正方形的中心（即两对角线交点），则（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3，若点O在正方形的内部（含边界），当OM=ON时，请探究点O在移动过程中可形成什么图形？

（4）如图4，是点O在正方形外部的一种情况．当OM=ON时，请你就“点O的位置在各种情况下（含外部）移动所形成的图形”提出一个正确的结论．（不必说明）

Answer

（1）OM=ON；（2）成立．（3）O在移动过程中可形成线段AC；（4）O在移动过程中可形成线段AC.

【解析】

试题（1）根据△OBM与△ODN全等，可以得出OM与ON相等的数量关系；

（2）连接AC、BD，则通过判定△BOM≌△CON，可以得到OM=ON；

（3）过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，可以通过判定△MOE≌△NOF，得出OE=OF，进而发现点O在∠C的平分线上；

（4）可以运用（3）中作辅助线的方法，判定三角形全等并得出结论．

试题解析：（1）若点O与点A重合，则OM与ON的数量关系是：OM=ON；

（2）仍成立．

证明：如图2，连接AC、BD．

由正方形ABCD可得，∠BOC=90°，BO=CO，∠OBM=∠OCN=45°．∵∠MON=90°，∴∠BOM=∠CON，在△BOM和△CON中，∵∠OBM=∠OCN，BO=CO，∠BOM=∠CON，∴△BOM≌△CON（ASA），∴OM=ON；

（3）如图3，过点O作OE⊥BC，作OF⊥CD，垂足分别为E、F，则∠OEM=∠OFN=90°．又∵∠C=90°，∴∠EOF=90°=∠MON，∴∠MOE=∠NOF．

在△MOE和△NOF中，∵∠OEM=∠OFN，∠MOE=∠NOF，OM=ON，∴△MOE≌△NOF（AAS），∴OE=OF．

又∵OE⊥BC，OF⊥CD，∴点O在∠C的平分线上，∴O在移动过程中可形成线段AC；

（4）O在移动过程中可形成直线AC．