Question

操作与证明：如图，把一个含角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E、F分别在正方形的边CB、CD上，连接AC、AE、其中AC与EF交于点N，取AF中点M，连接MD、MN．

求证：是等腰三角形；

在的条件下，请判断MD，MN的数量关系和位置关系，并给出证明．

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据正方形性质得：AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=90°，再根据等腰直角三角形得BE=DF，证明△ABE≌△ADF，得AE=AF，则△AFE是等腰三角形；

（2）先根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得：DM=AF，再由等腰三角形三线合一得：AC⊥EF，EN=FN，同理MN=AF，则DM=MN；可证∠FMD=2∠FAD，∠FMN==2∠FAC，

则∠DMN=∠DMF+∠FMN=2∠FAD +2∠FAC=2∠DAC=90°．即可得到DM⊥MN．

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠ABE=∠ADF=90°，

∵△EFC是等腰直角三角形，∴CE=CF，∴BE=DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∴△AFE是等腰三角形；

（2）DM=MN，且DM⊥MN．理由是：

在Rt△ADF中，∵M是AF的中点，∴DM=AF，

∵EC=FC，AC平分∠ECF，

∴AC⊥EF，EN=FN，

∴∠ANF=90°，

∴MN=AF，∴MD=MN．

由（1）得：△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠FAD，

∵DM=AF=AM，∴∠FAD=∠ADM，

∴∠FMD=∠FAD+∠ADM=2∠FAD，

同理：∠FMN==2∠FAC，

∴∠DMN=∠DMF+∠FMN=2∠FAD +2∠FAC=2∠DAC=2×45°=90°．

∴MD⊥MN．