Question

已知关于x的一元二次方程

求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

若a和b是这个一元二次方程的两个根，求的最小值．

Answer

（1）证明见解析；（2）3.

【解析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m2+4＞0，从而证出无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；

（2）由根与系数的关系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，结合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．

（1）在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，

所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，

无论m取何值，m2+4＞0，

所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

（2）因为a和b是这个一元二次方程的两个根，

所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，

所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．

无论m为何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值为3．